APLIKASI
FUNGSI KUADRAT DALAM EKONOMI DAN BISNIS
I. Pengantar
Untuk menggambarkan hubungan antara dua variabel
ekonomi tidak cukup dan kurang tepat kalau didekati dengan fungsi linear saja.
Dalam keadaan demikian itu maka pendekatan
atau penggambaran hubungan antara dua variabel ekonomi tersebut akan lebih baik
digunakan fungsi non linear dan salah satu diantaranya adalah fungsi kuadrat.
Aplikasi fungsi Kuadrat dalam ekonomi dan bisnis, yang mencakup fungsi
permintaan dan penawaran, keseimbangan pasar, keseimbangan pasar yang dikaitkan
dengan pajak dan subsidi, fungsi penerimaan dan fungsi biaya dan kaitannya
dengan analisis pulang pokok. kurva fungsi transformasi produk dan hukum Pareto
tentang distribusi penghasilan.
Tujuannya mahasiswa diharapkan mampu menerapkan fungsi kuadrat, dalam ekonomi dan bisnis.
II.
Aplikasi
Fungsi Kuadrat Dalam Bidang Ekonomi dan
Bisnis
Contoh 1.
Diketahui Fungsi permintaan, Penawaran dan
Keseimbangan Pasar : 
dan q = 
dengan p = harga per
unit barang dan
dan q = dengan p = harga per
unit barang dan
q = kuantitas barang.
Ditanyakan :
(a). Buatlah grafik fungsi permintaannya
(b). Buatlah grafik fungsi penawarannya
(c). Tentukanlah titik keseimbangan pasar dan buatlah
grafiknya
Cara I
Dengan
mengingat sifat fungsi permintaan, dan demikian juga untuk fungsi penawaran,
hanya kurva / segmen (penggalan) garis / kurva yang terletak pada kuadrat
pertama yang bermakna dalam analisa ekonomi. Maka dari itu akan lebih mudah
membuat grafik fungsi permintaan maupun fungsi penawaran dengan bantuan tabel
hubungan/pasangan nilai q dan p berdasarkan atas nilai q dan p yang memenuhi fungsi
permintaan atau pun fungsi penawaran tersebut.
fd : q = -2p2 + 9
pasangan
nilai p dan q
p
|
0
|
1
|
2
|
4
 |
q
|
9
|
7
|
1
|
0
|
(p,q)
|
(0,9)
|
(1,7)
|
(2,1)
|
(4
,0) |
Gambar grafik
(b) Grafik fungsi penawaran
q = p2 + 5p + 1 → a = 1, b = 5 dan c = 1
(1) Sumbu simetrinya adalah p = 
(2) Titik puncak kurva adalah (p = 
,-5 1/2)
,-5 1/2)
(3) Titik potong kurva dengan sumbu q, bila p = 0 dan
diperoleh (0,1)
(4) Titik potong kurva dengan sumbu p, bila q = 0, diperoleh
q = p2 + 5p + 1 D = b2 – 4ac
0 = p2 + 5p + 1
= (5)2 – 4 (1) (1) = 21 > 0 → jadi
Kurva tersebut memotong sumbu p di dua titik.
= 
P1 = -0,2 = - 
P2 = 4,8 = - 4 
Jadi, titik potong kurva fungsi tersebut dengan sumbu q,
adalah titik (- 
, 0)
, 0)
Gambar grafik
Cara II
q = p2
+ 5p + 1
hubungan
nilai p dan q
p
|
0
|
1
|
2
|
3
|
q
|
1
|
7
|
15
|
25
|
Gambar grafik
(c) Keseimbangan pasar akan terjadi bila, qd = qs :
qd = qs
- 2p2 + 9 = p2 + 5p + 1
- 3p2 + 8 – 5p = 0
3p2 + 5p = 0
(3p + 8) (p – 1) = 0
(3p + 8) = 0 → p = -
(tak bermakna)
(tak bermakna)
(p – 1) = 0 → p = p = 1 (bermakna)
Bila p = 1, q =
....... ?
q = p2 + 5p
+ 1
= 7
q = qE = 7
E (pE, qE) = E (1,7)
Jadi, harga dan kuantitas keseimbangan pasar masing-masing
adalah 1 per unit dan 7 unit
(d) Gambar grafik
Contoh 2 .
Bila fungsi
permintaan sejenis barang berbentuk pq = 30 dan fungsi penawarannya berbentuk q
= 3p – 9, tentukanlah titik keseimbangan pasar (titik equilibrium) dan buatlah
grafiknya.
(a) fd : p . q = 30 → q = 
f : qs = 3p – 9
keseimbangan pasar
akan terjadi, bila qd = qs
qd = qs
p2
– 3p – 10 = 0
30
= 3p2 – 9p (p
– 5) (p+2) = 0
3p2
– 9p – 30 = 0 (p – 5) = 0 → p1 = 5
(bermakna),
(p
+2) = 0 → p2 = -2 (tak bermakna)
Jadi,
titik keseimbangan pasar adalah E(pE, qE) = E (5,6)
(b). Gambar grafik
|
|
fd : q = q = 3p - 9
q = 3p - 9 |
Contoh 3
Fungsi
penerimaan total sebuah perusahaan yang merupakan hasil penjualan barang yang
diproduksinya berbentuk R = 200q – 4q2
R =
penerimaan total dan q = kuantitas barang
Pertanyaan :
Berapa unit
sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi agar diperoleh penerimaan total yang
maksimum ? berapa besar total penerimaan maksimum yang diperoleh ?
Penyelesaian
R = 200q – 4q2
= - 4q2
+ 200 q 
y = ax2 +
bx + c
y = ax2 +
bx + c
a = - 4, b = 200 dan c = 0
Titik puncak kurva R adalah (q = 
q = 
R = - 
Jadi, titik
puncak kurva R adalah (25, 2500)
Oleh karena a
= - 4 < 0, maka kurva R tersebut terbuka ke bawah dan titik puncaknya
disebut titik maksimum.
Jadi agar
perusahaan tersebut memperoleh penerimaan total yang maksimum sebaiknya
berproduksi sebanyak 25 unit dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut 2500.
Contoh 4.
Biaya total
untuk memproduksi sejenis barang dari sebuah perusahaan berbentuk, C = q2
– 16q + 68. C = biaya total dan q = kuantitas barang.
Pertanyaan
(a)
Berapa
besar biaya tetap (fixed cost) yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut ?
(b) Berapa sebaiknya perusahaan tersebut
berproduksi agar biaya total yang dikeluarkan minimum dan berapa besar biaya
total minimum tersebut ?
(c)
Gambar
grafiknya
Penyelesaian
(a)
Biaya
tetap diperoleh bila q = 0
C = q2 – 16q + 68
= (0)2 – 16 (0) + 68
Jadi, besarnya biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan
tersebut 68.
(b) C = q2 – 16q + 68 y = ax2 –
bx + c
y = ax2 –
bx + c
a = 1, b = - 16, c = 68
titik puncak kurva adalah (q = 
)
)
q = 
C = 
Oleh karena a = 1 > 0, maka kurva fungsi C terbuka ke atas
dan titik puncak kurva disebut titik minimum.
Jadi, agar biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan
minimum, sebaiknya perusahaan tersebut berproduksi sebanyak 8 unit barang, dan
besarnya biaya total minimum tersebut sama dengan 4
(c)
Gambar
grafik
C = q2 – 16q + 68
q
|
0
|
8
|
16
|
C
|
68
|
4
|
68
|
(q,C)
|
(0,68)
|
(8,4)
|
(16,68)
|
(16,68) → Titik lainnya yang dilalui kurva fungsi
(8,4) → Titik puncak kurva fungsi
(0,68) → Titik potong
kurva dengan sumbu C
P = 8 → Sumbu simetri
 |
,
Contoh 5.
Contoh 5.
Jika diketahui fungsi permintaan q = - 0,5p + 7
sedangkan fungsi penawarannya, q = p – 2. pemerintah mengenakan pajak sebesar t
per unit terhadap barang
yang dijual. Agar pemerintah memperoleh penerimaan maksimum dari pajak
(penerimaan pajak yang maksimal),
(a)
Berapa besarnya pajak total maksimum
yang diperoleh pemerintah ?
(b)
Berapa besarnya t tersebut ?
Penyelesaian
fd : - 0,5p
+ 7 → p = - 2q + 14
fs : q = p – 2 → p = q + 2
(a) Sebelum pajak Sesudah pajak
fd : p =
-2q + 14
fdt : p = -2q + 14
fs : p = 2 + q fst
: p
= 2 + q + t
keseimbangan setelah
pajak bila, pdt = pst sebagai berikut :
pdt = pst
- 2q + 14 = 2 + q + t
t = -3q + 12
pajak total yang
diperoleh pemerintah ( T )
T
= t. q
=
(- 3q + 12) (q)
=
-3q2 + 12q
T = - 3q2 +
12q y = ax2 +
bx + c
y = ax2 +
bx + c
a = -3, b = 12, dan c
= 0
Titik
puncak kurva adalah T ( q = 
)
)
q = 
T = 
Jadi, titik puncak
kurva T adalah (2, 12)
Oleh karena a = - 3
< 0, maka kurva fungsi T terbuka ke bawah dan titik puncak disebut titik
maksimum.
Jadi, pajak total
maksimum yang diperoleh pemerintah sebesar 12.
(b)
t = ....... ?
q
= 2 → T = t . q
12
= t. 2
t
= 6
jadi,
besarnya pajak per unit (t) yang kenakan pemerintah terhadap barang yang dijual
agar diperoleh penerimaan yang maksimum dari pajak, sama dengan 6.
Contoh 6
Seorang produsen menghadapi fungsi
permintaan konsumen terhadap barangnya,
q = - 0,2p + 20. sedangkan biaya total untuk memproduksi barangnya,
C = 50 + 25 q.
Tentukanlah
(a)
Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan
maksimum dan besarnya keuntungan maksimum itu.
(b)
Harga jual per unit agar diperoleh
keuntungan yang maksimum.
(c)
Buatlah grafik fungsi keuntungan
terhadap q.
Penyelesaian
(a) q = - 0,2p + 20 →
p = 100 – 5q, C = 50 + 25q
R = qp
= q (100 – 5q)
= 100q – 5q2
R = 5q2 +
100q
Laba
→ p
= R – C
= (-5q2 +
100q) – (50 + 25q)
p = - 5q2
+ 75q – 50 y = ax2 + bx + c
y = ax2 + bx + c
a = -5, b = 75, dan
c = - 50
Titik puncak kurva p
adalah (q = 
p = 
p =
q = 
p = 
Oleh karena a = - 5
< 0 → kurva fungsi p membuka ke bawah dan titik puncak
kurva disebut titik maksimum.
Jadi, tingkat produksi
yang menghasilkan keuntungan (laba) yang maksimum sebanyak 7,5 unit barang.
Maksimum sebanyak 7,5
unit barang
Besarnya laba maksimum
yang diperoleh produsen tersebut sebesar 231,25
(b)
p = ..... ? (harga jual per unit)
q = - 0,2p + 20
7,5 = - 0,2p + 20 →
-12,5 → p = 62,5
Jadi, harga jual per
unit agar diperoleh keuntungan maksimum sama dengan 62,5.
(c)
Gambar grafik
p = - 5q2
+ 75q – 50
q
|
0
|
7,5
|
15
|
14,3
|
0,7
|
p
|
-50
|
231,25
|
-50
|
0
|
|
(q, p)
|
(0,50)
|
(7,5, 231,25)
|
(15, -50)
|
(14,3,0) (0,7 ,0)
|
|
(1)
Titik potong kurva dengan sumbu p
(2)
Titik puncak kurva
(3)
Titik lainnya yang dilalui kurva
(4)
Titik potong kurva dengan sumbu q
Sumbu simetri
adalah q = 7,5
 |
III. Fungsi (Kurva) Transpormasi Produk
Fungsi transpormasi produk
menyatakan hubungan antara kuantitas dari dua jenis barang (joint products)
yang dihasilkan oleh perusahaan dengan menggunakan tenaga kerja dan bahan
mentah (material) yang sama. secara matematis, kurva transportasi produk adalah
tempat kedudukan kombinasi kuantitas dua jenis barang yang dapat dihasilkan
dengan masukkan (imput) tertentu.
Apabila kuantitas kedua jenis
barang yang dihasilkan tersebut adalah q1 dan q2, kurva
transpormasi produk akan menunjukkan hubungan antara q1 dan q2
berbanding terbalik, yang memiliki arti bila kuantitas q1 bertambah
maka kuantitas q2 akan berkurang dan
sebaliknya.
Dalam prakteknya banyak proses
produk industri dapat menghasilkan lebih dari satu keluaran (output), misalnya
sejenis barang tetapi dengan kualitas yang berbeda (kualitas satu, kualitas
dua, dan seterusnya).
Kurva transpormasi produk ini bila
digambar, cekung terhadap titik 0 seperti pada gambar berikut :
 |
Contoh 7
Sebuah perusahaan memproduksi sejenis barang dengan kualitas
yang berbeda yaitu A1 dan A2, masing-masing sebanyak q1
dan q2 unit. Fungsi / kurva transpormasi produk untuk masukkan
(input) tertentu yang digunakan adalah
q2 = 100 - 
q12
q12
(a)
Berapa unit maksimal A1 dan
A2, yang dapat diproduksi ?
(b)
Berapa unit A1 dan A2
diproduksi agar kuantitas A1 dan A2 sama banyak ?
Penyelesaian
(a) Bila q2
= 0, q1 = ...... ?
Bila q1 = 0, q2 = ...... ?
q2 = 100 - q12 q2 =
100 - q12
q12 q2 =
100 - q12
0 = 100 - q12 q2 =
100
q12 q2 =
100
q12 = 400
q1 = P 400 → (q1) 1, 2 = 
20
20
(q1) 1 = 20 (bermakna)
(q1) 2 = -20
(tak bermakna)
Jadi, kuantitas A1 dan A2
yang maksimal dapat diproduksi masing-masing 20 unit dan 100 unit.
(b) Bila q1 = q2, maka q1 =
...... ? dan q2 = ...... ?
q2 = 100 - q12
q12
q1 = 100 - q12
q12
q12 + 4q1 – 400 = 0 → a = 1, b = 4, c = - 400
(q1) 1, 2 = 
= 
(q1) 1 = 18,09 (bermakna)
(q1)2 = -22,09 (tidak bermakna)
Jadi, kuantitas A1 dan A2 yang harus
diproduksi masing-masing agar A1 dan A2 sama banyak
adalah q1 = q2 = 18,09 unit
Contoh 8
Suatu
perusahaan menghasilkan dua jenis keramik dengan kualitas yang berbeda melalui
proses produksi yang sama, dengan jumlah masing-masing sebanyak q1
dan q2. kurva transpormasi produk untuk sejumlah masukan (input)
yang digunakan, dinyatakan oleh persamaan.
q2
– 9 q12 + 56 = 0
berapa unit
masing-masing keramik harus diproduksi agar jumlah keramik kualitas satu 
kali jumlah keramik
kualitas dua ?
kali jumlah keramik
kualitas dua ?
Penyelesaian
q2 – 9 q12 + 56 = 0
bila q1 = q2, maka q1
= ....... ? dan q2 = .... ?
q2, maka q1
= ....... ? dan q2 = .... ?
q2 – 9 q12 + 56 = 0
q2 – 9 (q2)2 + 56 = 0
q2)2 + 56 = 0
q2 – q22 + 56 = 0
q2 – q2 + 56 = 0
(q2 – 8) (q2 + 7) = 0
q2 = 8 (bermakna)
q2 = -7 (tak bermakna)
q1 = ..... ?
q1 = q2 = (8) =
q2 = (8) =
jadi, agar
kuantitas keramik kualitas satu kali kuantitas keramik
kualitas dua, maka masing-masing keramik harus diproduksi sebanyak unit dan 8 unit.
kali kuantitas keramik
kualitas dua, maka masing-masing keramik harus diproduksi sebanyak unit dan 8 unit.
IV. Hukum Pareto Mengenai Distribusi
Penghasilan
Hubungan antara banyaknya individu (N), jumlah penduduk tertentu (a),
dengan batas penghasilan terendah (x) dinyatakan dalam persamaan hiperbola
Fermat, sebagai berikut :
N = 
0 < N 
a dan
a dan
0 < x < penghasilan maksimum penduduk
N = banyak individu
a = jumlah penduduk
x = batas penghasilan terendah
b = parameter penduduk, yang biasanya
diperkirakan 1,5
perdefenisian n dan x adalah diskret, akan tetapi dalam
prakteknya, x dipandang sinambung (kontinyu). Untuk penduduk yang
berpenghasilan di atas subsisten, hukum Pareto umumnya cukup teliti dan nilai b
dianggap sama dengan 1,5 (b = 1,5).
Sedangkan grafik persamaan di atas secara umum seperti gambar
di bawah ini:
Contoh 9
Hukum Pareto
tentang penghasilan dari sekelompok orang adalah :
N = 
x =
penghasilan (satuan dalam rupiah), N = banyak individu
pertanyaan
:
(a)
Berapa
orangkah yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah
(b)
Berapa
orangkah yang berpenghasilan antara Rp. 6.400,00 dan Rp. 10.000,00
(c)
Berapa
penghasilan terendah dari 10 orang yang berpenghasilan tertinggi
Penyelesaian :
(a)
Banyaknya
orang yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah
x = 106 → N = ..... ?
N = 
Jadi, yang berpenghasilan di atas satu juta rupiah sebanyak
2480 orang
(b)
Banyak
orang yang berpenghasilan di atas Rp. 6.400,00
x = 6.400 → N = .... ?
N = 
Jumlah yang berpenghasilan di atas Rp.
10.000,00
x = 10.000,00 → N = .... ?
N = 
Jadi, jumlah orang yang berpenghasilan antara Rp. 6.400,00
sampai dengan Rp. 10.000,00 adalah 4.843.750 orang – 2.480.000 orang =
2.363.750 orang.
(c)
N
= 10
x = .... ?
N = 
→ 10 =
→ 10 =
x3/2 = 248.109
= 
= (248.109)
= (248.109)2/3
= (83. 109)2/3
= 82 . 106
= 64 . 106
Jadi, penghasilan terendah dari 10 orang yang berpenghasilan
tertinggi adalah sebesar 64. 106 atau 64 juta rupiah
Soal-Soal Latihan
1 Tentukanlah titik keseimbangan
pasar sejenis barang yang memiliki fungsi permintaan dan penawaran sebagai
berikut, dan buatlah grafiknya
Permintaan Penawaran
(a) q = 64 – 8p – 2p2 q = 10 + 5p2
(b) q = - p2 + 25 q = p2 – 2p + 1
(c) qp = 15 q = p – 2
2 Fungsi laba dari sebuah perusahaan dinyatakan
dalam bentuk fungsi kuadrat.
Kepala bagian pemasaran memperkirakan bahwa: jika pihak
perusahaan tidak
menjual barangnya perusahaan rugi 50 juta rupiah. Bila
perusahaan dapat
menjual 4 unit, perusahaan untung 170 juta rupiah, dan bila
yang terjua
sebanyak 12 uit, pihak perusahaan untuk sebesar 130 juta. Bila p
menyatakan
aba (dalam jutaan rupiah) dan q menyata kan kuantitas barang (dalam ton)
(a) Tentukanlah fungsi laba tersebut,
p = f(q)
(b) Agar perusahaan tersebut mendapat
laba yang maksimum sebaiknya berapa unit barang yang dijual (diproduksi) ?
(c) Buatlah grafiknya
3.Bagian produksi sebuah perusahaan
manufaktur yang bergerak dalam bidang
farmasi yang menghasilkan cairan
kimia tertentu, memperkirakan bahwa
biaya total untukmemproduksi barangnya mengikuti
fungsi kuadrat. Dengan
perkiraan sebagai berikut : Bila perusahaan tidak berproduksi
sama sekali biaya
total yang dikeluarkan sebesar 44, bila berproduksi sebanyak 4 unit biaya total
yang dikeluarkan sebesar 20, dan bila berproduksi sebanyak 10 unit biaya total
yang dikeluarkan sebanyak 14, jika C menyatakan kuantitas barang (satuan
dalam liter).
(a) Tentukanlah fungsi biaya
totalnya, C = f(q)
(b) Agar biaya fungsi
biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan manufaktur tersebut sekecil – kecilnya
(minimum) sebaiknya berapa liter cairan kimia yang diproduksi ?
(c) Buatlah grafiknya
4 Biaya total yang
dikeluarkan oleh sebuah perusahaan untuk memproduksi
sejenis barang ditunjukkan oleh fungsi :
C = 5q2 - 40q + 200
q = kuantitas barang yang diproduksi dan
C = biaya total
pertanyaan
(a)
Pada
tingkat produksi berapa unit biaya totalnya minimum ?
(b)
Hitunglah
besar biaya total minimum tersebut
(c)
Hitunglah
pula biaya tetap dan biaya rata-rata pada saat biaya totalnya minimum.
5.Total penjualan sebuah perusahaan ditaksir mengikuti fungsi
kuadrat sebagai
berikut : R = - 5q2 + 20q
Pertanyaan
(a)
Berapa
unit sebaliknya barang yang dijual agar total penjualannya maksimum ?
(b)
Berapa
besar nilai total penjualan yang maksimum tersebut ?
(c)
Buatlah
garafiknya
6.Suatu
pabrik kertas memproduksi kertas kualitas no. 1 sebanyak q1 m2 / hari dan
kualitas no. 2 sebanyak q2 m2/hari.
Antara q1 dan q2 terdapat hubungan sebagai
berikut :
q2 = 500 - 
harga kertas no. 2 adalah 2/5 harga
kertas no. 1 tiap m2.
Berapa m2
masing-masing kertas diproduksi untuk memperoleh total
evenue (penerimaan total) yang
maksimum ?
7.Hukum pareto
mengenai distribusi penghasilan dari sekelompok orang tertentu,
dinyatakan oleh fungsi :
N = 
N = Jumlah individu, x = pendapatan
(satuan dalam rupiah)
Pertanyaan :
a.Berapa orang mempunyai penghasilan
antara Rp. 125.000,00 dan
Rp. 1.000.000,00
b.Berapa distribusi penghasilan terendah dari 100 orang terkaya
?
8.Fungsi
distribusi penghasilan dari sekelompok penduduk menurut hokum
Pareto dinyatakan oleh :
N = 
N = Jumlah individu, x = penghasilan
(satuan dalam jutaan rupiah)
Pertanyaan :
(a)
Berapa
orang yang punya penghasilan melebihi 2 juta rupiah
(b) Berapa orang mempunyai penghasilan
antara 4 juta dan 10 juta rupiah
(c)
Berapa
besar pendapatan terendah dari 12 orang terkaya ?
9..Jika fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang
q = p2 – 12p + 36 dan q = p2 - 1
terhadap barang ini dikenakan pajak
penjualan sebesar 20% per unit. Bila
p = harga per unit barang dan q = kuantitas barang
tentukanlah :
(a)
Harga
dan kuantitas keseimbangan pasar sebelum dan setelah pajak
(b)
Besarnya
pajak yang ditanggung oleh produsen dan konsumen (dalam %)
(c)
Besarnya
pajak yang diterima oleh pemerintah
This comment has been removed by the author.
ReplyDeletePak/Bu Soal no 2 Ada Grafiknya yang jelas Gak?
ReplyDeletePak/Bu Soal no 2 Ada Grafiknya yang jelas Gak?
ReplyDelete