APLIKASI FUNGSI
EKSPONENSIAL DALAM EKONOMI &
BISNIS
Fungsi pertumbuhan adalah salah satu
contoh aplikasi fungsi eksponen dan logaritma dalam bidang ekonomi dan bisnis
(analisa ekonomi). Sifat utama fungsi ini adalah meningkat secara menoton.
Fungsi pertumbuahan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa asimtut yang
merupakan batas atas.
Pembahasan fungsi pertumbuhan pada
bagian ini dibatasi hanya pada fungsi bunga majemuk, pertumbuhan penduduk /
biologis, kurva (fungsi) Gomperrtz dan kurva (fungsi) pengajaran.
- Fungsi Bunga Majemuk
Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal
dibungakan asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesarnya k0
dibungakan k kali per tahun dengan bunga sebesar 100 r % (atau r) per tahun
maka setelah n tahun, modal tersebut akan menjadi :
Kn = K0 
(6.2)
Apabila k
sangat besar yaitu k → 
, maksudnya bunga yang dibayarkan secara kontinyu atau bunga
ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaan (6.2) di atas akan
menjadi :
, maksudnya bunga yang dibayarkan secara kontinyu atau bunga
ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaan (6.2) di atas akan
menjadi :  |
Kn
= Ko.er.k (6.3)
Dengan,
Ko
= Modal awal atau besar modal pada tahun yang ke nol.
Kn
= Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke n.
e = Bilangan
basis dalam logaritma Natural (e = 2,718 ...)
k = Kelipatan
bunga yang dibayar per tahun
n = Waktu
lamanya modal (pokok) dibungakan
r = Besarnya
bunga per tahun
jika fungsi Kn
= Ko er.n dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai
berikut :
 |
Gambar 6.11
Contoh 1
Seseorang
menabung uang sebesar 4 juta rupiah dengan bunga 5 % per tahun. Berapakah
jumlah uangnya (pokok tabungan + bunga) setelah 10 tahun.
(a)
Bila
bunga dibayarkan sekali setahun
(b) Bila bunga dibayarkan per triwulan
(c)
Bila
bunga dibayarkan secara kontinyu per tahun
Penyelesaian
(a)
Bunga
dibayarkan sekali setahun, berarti k = 1
Ko = 4 juta n = 10 tahun r = 5 % = 0,05 Kn
= ....?
Kn = Ko (1 + 
)n.k
)n.k
= 4 ( 1 +
)1x10
)1x10
= 4 ( 1 + 0,05)10
= 4 (1,05)10
Kn = 6,515785 (pergunakan kalkulator)
Jadi, jumlah uang yang diterima setelah 10 tahun sebanyak
6,515785 juta rupiah
Contoh 2.
Seorang
petani membutuhkan uang sebesar 5 juta rupiah pada 10 tahun yang akan datang.
Berapa jumlah uang yang harus ditabung mulai sekarang dengan bunga 24% per
tahun untuk memperoleh jumlah uang yang diharapkan ?
Penyelesaian
Kn = 5 juta rupiah = Rp. 5.106
n = 10 tahun, r = 24 % = 0,24 dan k = 1
Ko = .... ?
Kn = Ko ( 1 + 
)1xn
)1xn
5.106 = Ko (1 + 0,24)10
5.106 = Ko (1,24)10
K0 = 
= 581.772,49
Jadi, uang yang harus ditabung mulai sekarang sebesar Rp.
581.772,49
- Pertumbuhan Penduduk / Biologis
Bila penduduk suatu negara (daerah) pada suatu saat Po mengalami
pertumbuhan sebesar 100 % per tahun (atau r pertahun), maka setelah t tahun,
jumlah penduduk menjadi :
 |
PT = Po (1 + r )t (6.4)
Bagi suatu
negara (daerah) dengan jumlah penduduk yang besar, maka pertumbuhan penduduk
berlangsung hampir kontinyu, maka jumlah penduduk setelah t tahun menjadi :
 |
PT = Po .
er.t (6.5)
Misalkan (r +
1) pada persamaan (6.4) sama dengan R yaitu (r + 1) = R, maka persamaan (6.4)
di atas dapat dinyatakan sebagai berikut :
 |
Pt = Po
Rt (6.6)
Pt = Jumlah penduduk pada tahun yang ke t’
r = Tingkat pertumbuhan
R = (r + 1) = tingkat pertumbuhan + 1
Persamaan
(6.6) di atas diperoleh juga pada model penduduk dengan setiap anggota /
individu menimbulkan R – 1 anggota / individu baru dalam satu satuan waktu,
dengan anggapan tidak ada anggota yang meninggal.
Teoritisi organisasi menyatakan bahwa fungsi Pt =
Po Rt dapat dipergunakan untuk menggambarkan pertumbuhan
awal suatu perusahaan yang tumbuh dengan pesat. Jika fungsi Pt = Po Rt dibuat grafiknya
secara umum bentuknya sebagai berikut :
Gambar 6.12
Contoh 3
Pada tahun
1981 penduduk sebuah kota
Pertanyaan :
(a)
Berapa
tingkat pertumbuhan penduduk kota
(b) Perkirakan jumlah penduduk kota
Penyelesaian
Persoalan di
atas akan diselesaikan melalui sifat-sifat logaritma, walaupun juga dapat
diselesaikan melalui sifat-sifat eksponen.
(a)
Po = 629.039
Pt = 771.186
t = 5 (dari tahun 1981 s.d 1986)
r = ....... ?
Pt = Po ( 1 + r )t
Log Pt =
Log Po (1 + r )t
Log Pt = Log
Po + Log (1 + r)t
Log Pt =
Log Po + t Log (1 + r)
Log 771.186 = Log 629.039 + 5. log ( 1 + r )
5,8872 = 5,7987 + 5 .
Log ( 1 + r )
5 Log ( 1 + r ) = 5, 8872 – 5,7987
= 0,0885
Log ( 1 + r ) = 
( 1 + r ) = 1,0415
r = 1,0415 – 1
= 0,0415
= 4,15 %
Jadi tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut per tahun
adalah 4,15 %.
(b)
Dari
tahun 1981 s.d 1996, ini berarti
t = 15 Po = 629.039
r = 0,0415
t = 15
Pt = ..... ?
Pt = Po (1 + r )t
Log Pt = Log Po ( 1 + r )t
Log Pt = Log Po
+ t . Log ( 1 + r )
= Log 629.039 + t. Log (1 + 0,0415)
= 5,7987 + 15 Log ( 1,0415)
= 5,7987 + 15 ( 0,0177 )
= 5,7987 + 0,2655
= 6,0642
Pt = 1159311,1
3.Fungsi Gompertz
Fungsi ini menggambarkan perkembangan yang lambat waktu mulai
tumbuh, dan waktu mendekati asimtut batas pertumbuhan. Fungsi ini dinyatakan
sebagai berikut :
N =
C.aRt (6.7)
N = adalah jumlah penduduk pada tahun ke t
R = tingkat pertumbuhan (dengan 0 < R < 1 )
a = proposi pertumbuhan awal
C = tingkat pertumbuhan dewasa (yaitu asimtot tertinggi)
Sifat utama
dari fungsi Gompertz digambarkan dengan dua jenis kurva di bawah ini.
Type I : 0 < a < 
Type II : < a < 1
< a < 1
Gambar
6.13
Kurva I,
untuk nilai t kecil yang positif kurva cembung terhadap sumbu t (berakselerasi
positif) dan untuk nilai t besar yang positif, kurva cekung terhadap sumbu t
(berakselerasi negatif).
Sedangkan
kurva II, untuk semua nilai t positif, kurva cekung terhadap sumbu t (berakselerasi
negatif).
Teoritisi
organisasi menemukan dan menggunakan kurva Gompertz ini untuk menggambarkan
pertumbuhan organisasi. Kurva ini juga dapat dipergunakan untuk fungsi ekonomi
dan bisnis, seperti fungsi pendapatan total dan produksi. Contoh 4
Penjualan
setiap bulan dari sebuah perusahaan memenuhi fungsi p adalah jumlah pengeluaran
untuk promosi dan advertensi. S adalah penjualan / omzet setiap bulan.
Pertanyaan
(a)
Berapa
besar penjualan bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi sama dengan nol
atau berapa besar penjualan awalnya ?
(b)
Berapa
penjualan maksimumnya ?
(c)
Berapa
besar penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 ?
Penyelesaian
(a)
Jika
P = 0, maka S adalah
S = 100
Jadi,
penjualan awalnya adalah 100
(b)
Penjualan
maksimum terjadi saat, tingkat pertumbuhannya nol (R = 0)
= 1000
(1)
Jadi, penjualan maksimumnya adalah 1000
(c)
Jika
p = 5, maka S adalah
S = 1000(0,976697)
S = 976,697
Jadi, besar
penjualannya bila pengeluaran untuk promosi dan advertensi 5 adalah 976,697.
4, Fungsi Pengajaran
Fungsi pengajaran umumnya dipakai oleh psikolog untuk menggambarkan taraf
pertumbuhan pendidikan manusia, yang sifatnya meningkat cepat pada awalnya dan
semakin lambat ketika mendekati asimtot batas pertumbuhan. Fungsi ini
dinyatakan sebagai berikut :
 |
y = C – a.e-k
x (6.8)
C, a dan k
adalah konstanta positif
y = keaktifan
belajar, dan
x adalah variabel
pendorong
sedangkan bentuk grafiknya secara umum adalah sebagai berikut
:
Gambar 6.14
Fungsi
pengajaran ini juga dapat digunakan untuk menjelaskan fungsi biaya dan fungsi
produksi.
Contoh 5
Biaya
produksi total (dalam jutaan rupiah) dari sebuah perusahaan dapat dinyatakan
sebagai berikut :
C = 100 – 50 e –
0,02 q
C menyatakan biaya produksi dan q menyatakan kuantitas
produksi.
Pertanyaan
(a)
Berapa
besar biaya tetapnya ?
(b)
Bila
berproduksi 100 unit, berapa besar proporsi biaya produksi tetapnya terhadap
biaya produksi totalnya ?
Penyelesaian
(a)
Jika
q = 0, maka C = ... ?
C = 100 – 50. e- 0,02(0)
= 100 – 50 . eo
= 100 - 50. 1 = 50
Jadi, biaya tetapnya (maksudnya jika tidak berproduksi atau
jika q = 0) = 50 juta rupiah.
(b)
Bila
q = 100, maka biaya total (C) adalah,
C = 100 – 50 . e- 0,02(0)
= 100 – 50. e-2
= 100 – 
= 100 - 
= 100 – 6,7682
= 93,2318 juta rupiah
Jadi, proposi biaya tetap terhadap biaya total (untuk
berproduksi 100 unit) adalah :
= 
= 53,63 %
Soal-soal
Latihan
1.Seorang petani menabung Rp. 100.000,00 salama 15 tahun. Dua
kemungkinan dapat dilakukan, bunga majemuk 12 %
per tahun dengan bunga
digabungkan
setiap bulan atau bunga majemuk 15 % per tahun dengan bunga
digabungkan per
kwartal. Pilihan manakah yang lebih baik ?
2, Jika anda ingin
memiliki uang sebanyak dua juta rupiah sesudah 20 tahun (20
tahun dari sekarang), berapa besarnya anda harus
menabung mulai sekarang bila
tingkat bunga majemuk 15 % per tahun ?
3.Seorang mahasiswa
menabung uang sebesar Rp 500.000,00 dalam jangka waktu
20 tahun dengan tingkat bunga 15 % per tahun.
Berapakah jumlah uang yang
terima setelah 20 tahun, jika :
(a) Bunga dibayarkan tiap bulan ?
(b) Bunga dibayarkan 2 kali setahun ?
(c) Bunga dibayarkan per triwulan ?
(d) Bunga dibayarkan secara kontinyu
?
4.Jika suatu barang
yang dihasilkan sebanyak q unit per hari dan selama t hari
kerja produksi
berlaku fungsi, q
= 500 – 200. e -0,01 t
Pertanyaan
a.Berapa
unit barang per hari (q) yang dihasilkan setelah 10 hari kerja ( t = 10 ) ?
b.Berapa
unit kapasitas produksi maksimumnya ?
c.Berapa
persenkah hasil produksi selama 10 hari kerja dibandingkan kapasitas
produksi maksimumnya ?
5.Jumlah perusahaan dalam sebuah industri dinyatakan oleh
fungsi,
N = 8(0,5)0,75t, t menyatakan jumlah tahun sejak
industri itu mulai beroperasi.
Pertanyaan :
a.Berapa
Perusahaan berada dalam industri sesudah 6 tahun ?
b.Berapa jumlah
perusahaan berada dalam industri secara maksimum ?
6.Suatu organisasi
massa mulai beroperasi dengan 5 orang anggota, setiap anggota
diperkenakan memasukkan 2 orang anggota baru setiap
tahunya. Berapa
anggota
organisasi tersebut setelah 10 tahun beroperasi ?
7. Pada tahun 2000 penduduk sebuah kota
sebanyak 2,53 jiwa. Jika tingkat
pertumbuhan penduduk kota tersebut r = 1,2 % per
tahun. Berapa jumlah
penduduk negara tersebut tetap r = 1,2 % per tahun.
Berapa jumlah penduduk
kota tersebut
pada tahun 2010, jika penduduk bertambah secara kontinyu tiap
tahun ?
8.Pada tahun 2000
penduduk sebuah negara sebanyak 203 juta jiwa. Jika tingkat
pertumbuhan penduduk negara tersebut tetap r = 1,2 %
per tahun. Berapa
jumlah penduduk negara tersebut pada tahun 2005 ?
Post a Comment